De Smithkaart: hun geschiedenis en waarom ze zo belangrijk zijn voor RF-ontwerpers

Beginnend RF-ontwerpers die een directe verbinding proberen te maken tussen twee componenten — bijvoorbeeld van een spanningsgestuurde oscillator (VCO) naar een mixer — komen ongetwijfeld vreemde, cirkelvormige grafieken tegen op gegevensbladen van componenten, zoals deze voor de MAX2472 van Maxim Integrated, een 500-tot-2500 megahertz (MHz) VCO-bufferversterker (Afbeelding 1). Deze grafieken, Smithkaarten of in het Engels Smith-charts genoemd, zijn zonder enige twijfel heel wat anders dan wat we in wiskunde hebben geleerd.

Afbeelding 1: Veel gegevensbladen voor RF-componenten bevatten Smithkaarten die de belangrijkste parameterwaarden bij verschillende werkfrequenties weergeven, zoals deze voor de Maxim MAX2472 VCO-bufferversterker op 600, 900, 1900 en 2400 MHz. (Bron afbeelding: Maxim Integrated)

De grafiek is vernoemd naar Phillip Smith, een ingenieur bij Bell Telephone Laboratories, die tussen 1936 en 1939 de grafiek heeft bedacht en verfijnd terwijl hij werkte aan het principe van transmissielijnen en staande golven bij toenmalige ‘hoge frequenties’ tot 1 MHz (in die dagen cycli per seconde genoemd). Zijn vreemd uitziende cirkelgrafiek is het meest nuttige en krachtige instrument geworden voor het werken met en optimaliseren van ingangs- en uitgangsimpedantie van hoogfrequente circuits, zelfs in ons tijdperk van krachtige computers en CAD-tools (computer-aided design).

De Smithkaart biedt onder andere een efficiënte manier om ontwerpopties te visualiseren bij het matchen van interstage bron- en belastingsimpedanties. Dit is een zeer belangrijke overweging in veel circuits, vooral in RF-ontwerpen. Er zijn twee redenen waarom dit matchen zo belangrijk is:

• Allereerst moet, om een maximale vermogensoverdracht van een bron naar een belasting te realiseren, de complexe impedantie R_S + jX_S gelijk zijn aan de complex geconjugeerde R_L - jX_L van de belastingsimpedantie:

Hierbij is R het resistieve (reële) deel van de impedantie en X het reactieve (inductieve of capacitieve) deel (Afbeelding 2).

Afbeelding 2: Een grote uitdaging bij het ontwerpen van RF- en transmissielijnlijnen is dat de bron een belastingsimpedantie ‘ziet’ (de complex geconjugeerde van de bronimpedantie), zelfs als die belastingsimpedantie er niet is. (Bron afbeelding: HandsOnRF.com)

• In de tweede plaats is, zelfs als een dergelijk stroomverlies geen probleem is (hoewel dit bijna altijd wel het geval is), impedantieaanpassing nodig om de reflectie van energie van de belasting terug naar de bron te minimaliseren, omdat deze het uitgangscircuit van de bron kan beschadigen.

Wat de Smithkaart laat zien

De Smithkaart is een grafiek van de complexe reflectiecoëfficiënt (ook wel gamma genoemd en gesymboliseerd door rho (Γ)). De grafiek toont wat in eerste instantie een bijna onmogelijke taak lijkt: het simultaan in kaart brengen van de reële en imaginaire delen van een complexe impedantie, waarbij het reële deel R kan variëren van 0 tot oneindig (∞) en het imaginaire deel X van min oneindig tot plus oneindig — en dit alles op één vel papier.

Een vereenvoudigde Smithkaart met cirkels van constante weerstand en bogen van constante reactantie is een goed uitgangspunt om de grafiek beter te begrijpen (Afbeelding 3). De grafiek biedt als extra voordeel ook een manier om verstrooiende parameters (s-parameters) weer te geven en hoe hun waarden zich verhouden tot werkelijke metingen en overwegingen.

Afbeelding 3: De Smithkaart toont cirkels van constante weerstand (a) en bogen van constante reactantie (b) die worden samengevoegd en op elkaar gelegd (c) om een perspectief te bieden voor alle impedantiemogelijkheden. (Bron afbeelding: ARRL.org)

Zodra deze complexe impedantiewaarden in de Smithkaart zijn gemarkeerd, kan de grafiek worden gebruikt om veel cruciale parameters te identificeren voor het begrijpen van het RF-signaalpad of de situatie van de transmissielijn, waaronder:

• complexe spannings- en stroomreflectiecoëfficiënten;
• complexe coëfficiënten voor spannings- en stroomtransmissie;
• vermogensreflectie- en transmissiecoëfficiënten;
• reflectieverlies;
• retourverlies;
• verliesfactor staande golf;
• maximale en minimale spanning en stroom, evenals staandegolfverhouding (SWR);
• vorm, positie en faseverdeling samen met staandegolfspanning en -stroom.

Maar dat is slechts een deel van hoe de Smithkaart ons kan helpen. Hoewel het nuttig en vaak noodzakelijk is voor ontwerpers om de bovenstaande parameters te kennen, kan de Smithkaart helpen bij het nemen van analyse- en ontwerpbeslissingen, zoals:

• het weergeven van complexe impedanties t.o.v. de frequentie;
• het weergeven van s-parameters van een netwerk t.o.v. de frequentie;
• het evalueren van de ingangsreactantie of -susceptantie van open en kortgesloten stubs;
• het evalueren van de effecten van shunt- en serie-impedanties op de impedantie van een transmissielijn;
• het weergeven en evalueren van de ingangsimpedantiekenmerken van resonante en anti-resonante stubs, inclusief de bandbreedte en Q;
• het ontwerpen van netwerken met impedantie-matching met behulp van enkele of meerdere open of kortgesloten stubs, lijnsecties met kwart golflengte en samengevoegde L-C-componenten.

De voordelen van de Smithkaart

Op het eerste gezicht lijkt de standaard, volledig gedetailleerde Smithkaart op een bijna onbegrijpelijke wirwar van lijnen in alle richtingen (Afbeelding 4), maar het is eigenlijk niets meer dan een gedetailleerdere, hogere resolutie weergave van de eerder getoonde vereenvoudigde grafiek. Er is een downloadbare printversie van de Smithkaart online beschikbaar in het DigiKey Innovation Handbook in het gedeelte Resources.

Afbeelding 4: Een typische Smithkaart kan er imposant uitzien, maar het is slechts een gedetailleerdere, hogere resolutie weergave van de eerder getoonde vereenvoudigde grafiek. (Bron afbeelding: DigiKey)

De Smithkaart geeft voor veel ontwerpproblemen meer dan één oplossing: het toont alle mogelijke oplossingen. Ontwerpers kunnen vervolgens beslissen welke modellen een geschikte set componentwaarden bieden voor de specifieke situatie, zoals praktische waarden voor inductors en condensators met een matching impedantie. In de meeste gevallen zijn de schalen op de grafiek ‘genormaliseerd’ tot systemen van 50 ohm (Ω), omdat dit de meest voorkomende impedantie is die in RF-ontwerpen wordt gebruikt.

De Smithkaart is zo belangrijk en nuttig dat veel meetinstrumenten voor RF- en microgolftoepassingen, zoals vectornetwerkanalyzers (VNA’s), de kaart kunnen genereren en weergeven. De T3VNA-VNA van Teledyne LeCroy biedt bijvoorbeeld een dergelijke modus (Afbeelding 5).

Afbeelding 5: De T3VNA-vectornetwerkanalyzer kan geregistreerde gegevens in een Smithkaart weergeven. (Bron afbeelding: Teledyne LeCroy)

Hoe moeilijk is het om de Smithkaart te leren gebruiken? Zoals vaker met dat soort vragen, is het antwoord hetzelfde als wanneer je aan verschillende studenten vraagt of het gebruik van een rekenmachine of de theorie van elektromagnetische velden moeilijk te leren is: dat hangt ervan af. Er zijn veel online tekst- en videotutorials die beginnen met de basisprincipes van de Smithkaart en daarna verdergaan met transmissielijnvergelijkingen en analytische perspectieven. Ook worden talloze voorbeelden gegeven over het gebruik ervan. Natuurlijk zijn er ook apps en softwareprogramma's beschikbaar voor het maken van grafieken, het behandelen van het probleem en het evalueren van de opties met behulp van de Smithkaart. Maar het helpt wel degelijk om eerst de basisbeginselen van de grafiek te begrijpen voordat u deze gaat gebruiken.

Conclusie

Het is verbluffend dat een grafisch instrument dat meer dan 80 jaar geleden is ontwikkeld, lang voordat RF-ontwerp zoals we dat nu kennen zelfs bestond, nog steeds een van de belangrijkste bronnen is voor RF-ontwerpuitdagingen, zowel op papier als met behulp van software. De Smithkaart is hoe dan ook een krachtig hulpmiddel voor het weergeven en beoordelen van RF-parameters én het verkrijgen van inzicht in ontwerpalternatieven en bijbehorende afwegingen. De beste manier om meer te leren over de kracht van de Smithkaart en wat deze voor u kan betekenen, is door enkele van de vele gepubliceerde voorbeelden door te nemen.

Aanbevolen leesmateriaal

1 – “The Smith Chart: An ‘Ancient’ Graphical Tool Still Vital in RF Design”

https://www.digikey.com/en/articles/the-smith-chart-an-ancient-graphical-tool-still-vital-in-rf-design

2 – “SAW Filters Rescue Wireless Products from Impractical Discrete Implementations”

https://www.digikey.com/en/articles/saw-filters-rescue-wireless-products-from-impractical-discrete-implementations

3 – “Understanding the Basics of Low-Noise and Power Amplifiers in Wireless Designs”

https://www.digikey.com/en/articles/understanding-the-basics-of-low-noise-and-power-amplifiers-in-wireless-designs

4 – “Use Log Amps to Enhance Sensitivity and Performance in Wide-Dynamic-Range RF and Optical Links”

https://www.digikey.com/en/articles/use-log-amps-to-enhance-sensitivity-logarithmic-amplifiers